SENSE隨筆140224
賭徒謬誤Gambler’s Fallacy：冥冥之中存在著某種可以平衡命運的力量?
Tony執筆
賭徒謬誤亦稱為 <蒙地卡羅謬誤>
事緣1913年夏天，蒙地卡羅Monte Carlo一家賭場的一張輪盤賭桌上發生了一件令人難以置信的事情，這個輪盤竟然連續開出十多次黑色! 許多賭客聞風而至，認為機不可失，統統往紅色下重注。 怎料天意弄人，滾珠繼續往黑色格子裡鑽，如此一來，又吸引了更多賭客過來參與賭局。大家心想，既然黑色已經開了這麼多次，怎麼也該來個紅色了吧….. 結果是直到第27次，滾珠才甘願落在紅色格子上面，離奇事件總算告一段落，然而場裡早已哀鴻遍野，死傷不計其數!
來個生活化點的例子，假設有人當著你面前連續拋擲一枚硬幣四次，而四次的結果都是 “人頭”。 這時，有人強迫你拿出一萬元投注下一輪的拋擲結果，請問你會押在 人頭 還是 “數字” 上面呢？ 雖然你知道兩者的機率是相等的（同樣是1/2），你還是會選擇 數字吧，這就是常見的「賭徒謬誤」。***
拋擲一枚硬幣，人頭朝上的機會是1/2；連續兩次拋出人頭的機會是1/2 × 1/2 = 1/4；連續三次是1/8；四次是1/16。 於是犯賭徒謬誤的人會說：“如果下次再拋出人頭，就是連續五次，其機會率是1/32。 所以，下一次拋出人頭的機會只有1/32。”
以上論證有所謬誤。連續拋出五次人頭的機會率果真等於1/32，但這是指未拋出第一次之前。 拋出四次人頭之後，事過境遷，便不再在考量序列之內。 無論硬弊拋出過幾多次和結果如何，下一次拋出人頭和數字的機會率仍然相等。*** 實際上，計算出1/32機會率正好是基於 “每次拋出人頭或數字機會均等”的假設之上。***
「賭徒謬誤Gambler’s Fallacy」是一種錯誤信念，以為 “隨機序列” 中一個事件發生的機會率與之前發生的事件有關，即其發生的機會率會隨著之前沒有發生該事件的次數而上升。*** 這是生活中常見的一種不合邏輯的推理方式，認為一系列事件的結果都在某種程度上隱含了自相關。賭了整晚都手氣不好的賭徒總認為再賭幾局之後就會 “風水輪流轉”。
(有趣的題外話: 再假設有人連續拋擲一枚硬幣四十次，而每次的結果都是人頭，假如這時又有人強迫你拿出一萬元投注下一輪的拋擲結果，請問你會押在人頭還是數字上面？聰明的你如一心認定機會均等，便倒過來犯了職業數學家所犯的「典型專業曲解 deformation professionelle」。**** 很明顯地，這時候你該下重注的是人頭，因為你絕對有必要假設這枚硬幣被動了手腳！)
<賭徒謬誤例子2>
假設某個大城市全體學生的平均智商為100。 現在隨機抽出其中五十位學生來做測試，倘若已測定第一位學生的智商高達150，請問這五十位學生平均智商大概會是多少？
大部分人都猜測仍然是100，他們總認為這位先受測的超聰明學生，其智商會被之後的超笨學生給平均掉。 然而，在一個這麼小的取樣裡，出現這種情況的機率其實並沒有想象中那麼高。
在上述的情況下，我們必須設想其餘四十九位學生的平均智商符合所有學生的平均智商(即100)，接著用100去乘以四十九位學生，然後加上首位的150，再將總和給平均出來，便會得出這五十位學生的平均智商應該估算為101。
算式: (100 * 49 + 150 ) /50 = 101
“蒙地卡羅” 及 “學生抽樣” 這兩個例子都指出了人們普遍相信 “冥冥之中存在著某種可以平衡命運的力量”。 然而，這是一種謬誤的想法。
在證券投資市場上，金融行為學也有關於“賭徒謬誤”的心理分析，簡單說，就是人們總願意相信在一系列隨機事件發生之後，再度發生同樣事件的機會將會大大降低。
不難看到，投資者每每在股價連續上漲或是多次投資獲利後會變得小心翼翼；反之在股價連續下跌或是投資多次虧損時又變得偏好風險。另外更常一廂情願地用一定時期內股價的變動來預測下一階段股價的趨勢。*** 這都是類同的謬思。
<理論深究>
Th. 賭徒謬誤的產生是因為人們錯誤地詮釋了“大數法則”的平均律。人們傾向於相信大數法則適用於大樣本的同時，也適用於小樣本。*****
美國行為心理學家Amos Tversky及Daniel Kahneman把賭徒謬誤戲稱為“小數法則law of small numbers”。
在統計學中，一條重要的規律是
Th.“大數定律”，即隨機變數在大量重覆實驗中呈現出幾乎必然的規律，樣本越大，對樣本期望值的偏離就越小。****
例如，拋擲硬幣出現人頭的概率或期望值是1/2，但如果僅拋擲一次，則出現人頭的實況是0或1（遠遠偏離1/2）。隨著拋擲次數的增加（即樣本增大），那麼硬幣出現人頭的實況比率就逐漸接近1/2。 但人們通常會忽視樣本大小的影響，認為小樣本和大樣本具有同樣的期望值。
著名的「加倍賭注法Martingale」 (即於輸後加倍下注的系統) 是 “賭徒謬誤” 的變形。*** 運作方法是第一次下注1元，如輸了則下注2元，再輸則下注4元，如此類推，直到贏出為止。
這種情況可用 “隨機游走數學定理”解釋。這個系統或類似的系統冒很大的風險來爭取小額的回報。*** 除非有無限的資本，這類策略毫無優勢。
<均值回歸> 極端的成果會與較不極端的成果交互更迭
1.某隻股票過去三年蟬聯股王寶座，那麼在未來三年，股王地位很有可能會被其他股票替代。
2.許多運動員都害怕登上報紙頭條，他們下意識地擔心在接下來的比賽裡，恐怕再也無法締造同等佳績。他們擔心得對，但跟報紙頭條沒什麼關係，真正有關係的是他們成績的自然波動。 ***
其他 “均值回歸”例子有：長年的病痛，股市的戰績，戀愛的幸福感，工作和考試的績效等等。這出些東西都有自然波動的傾向。
人們經常得出錯誤的結論: “我本來病得不輕，看過醫生之後，現在好多了，感謝醫生救了我。”; 或是 “我們公司的經營狀況原本十分慘淡，聘請專家顧問幫忙之後，現在業績又回復上升軌道。”; 又或 “你不再那麼愛我了…..”
因此，請仔細看清楚你面對的情況是 “獨立事件” 還是 “非獨立事件”，基本上，獨立事件多數存在於賭場以及理論教科書中。在現實人生中，各種事件或多或少相互關聯，那經已發生的事，多少會對未來將要發生的事有所影響 。因此，除了在均值回歸的情況以外，請別去幻想會有某種神秘力量來平衡命運！
資料來源：
《思考的藝術：52 個非受迫性思考錯誤 Die Kunst des klaren Denkens：52 Denkfehler, die Sie besser anderen uberlassen》(2011)
作者：Rolf Dobelli