SENSE隨筆130306

芝諾三悖論

掌門供稿

芝諾Zeno of Elea (BC490-430) 古希臘辯士派哲學家，約與 蘇格拉底Socrates同時人。 他提出過很多題 悖論Paradox，其中三題特別出色，後世稱為「芝諾三悖論」。 此三悖論二千餘年無人能夠破解，直到 Cauchy (AD1789-1859) 提出「極限論」才被認為作出完整解答。

三悖論其實是對同一疑惑提問三次，一題比一題問得精彩。

以下是對三悖論的解釋：(注意：解釋是對題目的再陳述，不是解答它。)

A人能夠步行越過一個運動場嗎？

我的變形陳述：抵達 100m 終點可能嗎？

抵達 100m之前先要抵達 50m,之前先要抵達 25m,之前…..咁算點？ 旅行者能抵達目的地嗎？

此即 公孫龍子悖論 ：百尺之竿,日去其半,萬世不絕.

B阿基里斯Achilles 能夠追及一只龜嗎？***

講古：阿氏 特洛伊戰爭 中的希臘英雄，格殺特城第一勇士大王子Hector。 他有神賜隱形護甲，渾身刀槍不入，唯是罩門在足踝。(同構互射,石黑龍金鐘罩罩門在嚨內。) 二王子Paris察覺他在博鬥時特別小心護著足踝，取箭射之，破其罩門，遂殺之。 (約三千年後，野人城第一乜士Martin斷的脚筋就是 阿基里斯踺。)

變形陳述：波子能追到單車嗎？

設保時捷與單車皆以均速沿一直路向同一方向奔馳, 而波子之速度遠高於單車.

再設起步時單車領先波子距離 d1, 當波子抵達d1點時單車進前了距離 d2, 波子抵達d1+d2點時單車進前了 d3, ….. 如此無窮重複, 波子豈非永遠追唔到單車？

C千古名傳的「飛矢不動」。*****

飛馳中的箭矢有動過嗎？

我的亂咁陳述：今有一箭矢在空中直線飛馳， 按理它在任一特定時間點上應該佔據某一特定空間位置.

問題是如將該特定時間點無窮割分, 那麼在每一細分 sub時點上, 飛矢豈不是均佔據同一位置？ 咁即係話佢係果個時段內冇飛到架喎. 如果佢係細時段唔飛, 逆推論佢係較大時段內都可以冇飛到架. 但佢明明係飛矢黎架, 唔通飛矢係唔郁既？

這三題悖論提點的都是空間和時間可以「無限割分」這一性質。

首題和次題其實完全重覆，暗藏著「無限正數值的和sum 應該無限大」這一錯誤前設，悖論由此產生。

附記：僅以此篇隨筆獻予Martin，祝其早日康復and/or結婚。